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Neuronix
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Posté le 03/12/2005 23:48

Petit cours de Mathématiques:

Pour ceux qui ne comprennent pas la formule laissé sur les commentaires du jeu Speed et qui veulent apprendre quelque chose avant la Term (sympa pour se la péter en seconde) :

La fonction exponentielle :

Je vais simplement donner quelques propriétés de la fonction car pour comprendre sont origine il faut avoir des notions de premiere (au moins) mais je ferais un cours complet plus tard .

Pour tout x et y réels,
exp(x) > 0
exp(x)*exp(y) = exp(x+y) transforme un produit en somme!
exp(x)/exp(y) = exp(x-y)

exp(0) = 1
donc exp(2) = exp(1+1) = exp(1)*exp(1) = exp(1)^2

On note donc exp(x) = e^x

Les nombres complexes :

Un nombre complexe z est noté z = a + ib où a et b sont des réels et où i^2 = -1.

Tout nombre réel est donc un complexe car si b = 0 alors z = a + 0 = a qui est réel.

Prenons un point M(x,y) du plan ou x et y sont les coordonnées cartésiennes du point.
On pose z, appelé l'affixe de M tel que z = x+iy.

On définit ainsi le plan complexe ou le point M d'affixe z = x + iy a pour coordonnées x et y. On peut ainsi écrire les coordonnées du point en un seul nombre!

On appelle conjugé de z le nombre z-barre (c'est à dire avec une barre au dessus) que l'on notera ici z'

Si z = a + ib alors z' = a - ib

M'(z') est donc le symétrique de M(z) par rapport à l'axe des abscisses (car l'ordonnée de z' est l'opposé de celle de z )

Prenons le plan complexe (O,u,v) ou u et v sont des vecteurs normés.

smiley


Posons r = OM (la distance du point à l'origine) et µ = (u,OM) (l'angle formé par le vecteur u et le vecteur OM).

On a x = r*cos µ et y = r*sin µ. L'affixe z du point M s'écrit donc :
z = x + iy
= r*cos µ + i*r*sin µ
= r(cos µ + i*sin µ)

On prend par définition la notation dite exponentielle car on retrouve les meme propriétés avec les complexes et la fonction exponentielle donc on note :

z = r*e(iµ)

On appelle r le module de z,
on note r = Abs(z) (comme la valeur absolue mais je mets Abs() ici car c'est la fonction de la calculatrice et les barres sont des caractéres interdits )

r est la distance OM donc r = (x^2 + y^2)^(1/2) ( ^(1/2) correspond à racine carrée : si on a (x^a)^b = x^(ab) alors (x^2)^(1/2) = x )


On appelle µ l'argument de z,
on note µ = Arg(x).

On peut pas la calculer avec une formule simple, il vaut mieux regarder sur un dessin on voit souvent tres vite quel est l'argument (en tout cas au lycée c'est toujours un truc simple à voir )


Note : Ces deux fonctions se trouvent dans le Menu OPTN puis CPLX et argument ( Arg() )est extremement utile pour avoir l'angle d'un vecteur entre 0 et 360° !!!! contrairement à cos^-1 et sin^-1 qui donnent un angle entre -90 et 90° ou entre 0 et 180°!!!

Quelques exemples :

Soient les points A(1,0) B(1,1) C(0,1) D(-2,0)
On notera a l'affixe de A etc...

a = 1 + 0 = 1
Abs(a) = 1; Arg(a) = 0
d = -2 + 0
Abs(d) = 2; Arg(d) = Pi

Vous voyez donc que tout réel à un argument de 0 ou Pi

b = 1+ i = 1 + 1*i
Abs(b) = (1^2 + 1^2)^(1/2) = 2^(1/2) racine de 2
Arg(b) = Pi/4

c = 0 + i
Abs(c) = 1; Arg(c) = Pi/2

Questionnaire :

1- Arg(-1+i)?
2- Abs(4-3i)?
3- Comment sera noté -1+i en notation exponentielle?

Utilisation des complexes :

En premiere on apprend à résoudre les ploynomes du second degré :

Ax^2 + Bx +C = 0

Mais seulement dans les cas ou le déterminant D = B^2-4AC est positif ou nul.

A l'origine les complexes ont été crées pour résoudre des problemes tels que la résolution des polynomes du second degré.
On a donc introduit le nombre i tel que i^2 = -1

On a donc dans le cas ou D < 0,

D = (i*E)^2 ou E est un nombre positif.

En effet on a alors D = i^2 * E^2 = -1 * E^2

On peut donc résoudre l'equation avec le polynome du second degré avec ce nombre complexe avec la méthode normale. On a ainsi deux racines complexes dites conjugées (voir plus haut j'ai rajouté la notion de conjugé aux complexes ).

Application :

Les complexes permettent de simplifier les calculs de rotations, de symétrie etc ...
Considérons la rotation de centre O et d'angle Pi/3.
Soit M d'affixe z = r*e(i*µ)

L'image N(Z) de M(z) aura donc pour affixe Z = r*e( i*(µ+Pi/3) ). En effet la distance OM = ON mais l'angle (u,ON) = (u,OM + Pi/3)

On a donc
Z = r*e( i*(µ + Pi/3) )
Z = r*e( i*µ + i*Pi/3 )
Or d'apres la propriété de exp : e(x+y)= e(x)*e(y)
Donc Z = r * [ e(i*µ) * e(i*Pi/3) ]
C'est à dire Z = r * e(i*µ) * e(i*Pi/3)

La rotation revient donc à une multiplication !

La classpad gère la notation exponentielle et les rotations complexes mais malheureusement pas les graphs
A finir

Graph 35 + et Classpad 300



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Zefortiche
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Posté le 03/12/2005 19:27 |
éh bin !
j'en apprends des choses sur planète casio lol
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Lenainnoir
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Posté le 03/12/2005 21:33 |
Vaaa le coup des cinq états je savais pas...
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Muelsaco
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Posté le 03/12/2005 22:45 |
Poua je suis sur le cul comme quoi on ne sais vraiment pas grand chose
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Lenainnoir
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Posté le 03/12/2005 23:48 |
Si tu savais tout ca serait pas drole...
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Zefortiche
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Posté le 05/09/2006 20:39 |
*envie de déterrer ce vieux topic *
on a attaqué les nombres complexes en maths
c'est trop facile , enfin, en ce qui concerne l'écriture algébrique (la seule chose qu'on ait vue pour l'instant )
donc je suis en mesure de comprendre le tuto à neuronix
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Meithal
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Posté le 05/09/2006 21:26 |
un peu que c'est facile les nombres complèxes

Sinon, au dernières nouvelles, il y'a 6 états de la matière [ Lien ]
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A
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Posté le 07/09/2006 20:23 |
Bonsoir, en regardant brievement ce petit "cour", j'ai relevé quelques erreurs :
- "exp(x)*exp(y) = exp(x+y) transforme un produit en somme!". Le fait de "transformer un produit en somme" concerne la fonction logarithme et non la fonction exponentielle.
"M'(z') est donc le symétrique de M(z) par rapport à l'axe des abscisses". Etant donné que l'on se place dans un plan complexe, on parlera ici d'axe des réels.
- "On a donc introduit le nombre i tel que i ^2 = -1". Pour ma part les nombres complexes sont définis par des lois de compositions internes sur l'ensemble R^2 (couples de réels).
Vous avez choisi les nombres complexes pour expliquer les rotations mais peut être aurait-il été plus simple de s'intéresser aux coordonnées polaires.
A
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Posté le 07/09/2006 20:26 |
Par contre cette phrase là n'aurait jamais dû être écrite : "si on a (x^a)^b = x^(ab) alors (x^2)^(1/2) = x"
A
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Posté le 07/09/2006 20:29 |
" Arg() )est extremement utile pour avoir l'angle d'un vecteur entre 0 et 360° !!!! contrairement à cos^-1 et sin^-1 qui donnent un angle entre -90 et 90° ou entre 0 et 180°!!!"
Angle d'un vecteur?
Zefortiche
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Posté le 07/09/2006 20:37 |
t'aimes les maths toi alors (ou alors si t'aimes pas, tu t'y connais )
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A
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Posté le 07/09/2006 20:45 |
à la folie
Muelsaco
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Posté le 08/09/2006 20:49 |
- de toute façon l'expression "transformer un produit en somme" est rigoureusement fausse
- tout juste
- depuis quand voit-on les lois de compositions internes en terminal?? Sinon pour les coordonnées polaires çà revient exactement à la même chose
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Neuronix
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Posté le 09/09/2006 18:33 |
- ouais
- ouais
-ouais
... Ici j'explique à des gosses de premiere avec des mots qu'ils connaissent dans le seul but de pouvoir utiliser des "astuces" dans leurs programmes

Je ne souhaite pas faire un discours pour mathématiciens

" Arg() )est extremement utile pour avoir l'angle d'un vecteur entre 0 et 360° !!!! contrairement à cos^-1 et sin^-1 qui donnent un angle entre -90 et 90° ou entre 0 et 180°!!!"
Angle d'un vecteur?



Ici par exemple j'essaie d'expliquer qu'utiliser la FONCTION Arg() de la CALCULETTE donne l'angle voulue instantanément et donc on peut utiliser Arg() au lieu de se faire un bout de code tout seul avec des Arccos et Arcsin

Ps: je suis en MP... me fais pas c**** avec des maths le weekend stp... (lol, bien vu sinon )
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Lenainnoir
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Posté le 09/09/2006 18:57 |
Pfou....
J'ai interet à bosser cette année...
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Matronix
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Posté le 11/09/2006 12:33 |
idem
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Avez-vous essayé le solveur de trinômes le plus évolué à ce jour ? Essayer c'est l'adopter !
Rems
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Posté le 29/10/2006 16:25 | Fichier joint
je comprends pas la syntaxe Abs, sur un programme je cherche le module d'un nombre complexe que j'ai appeler P, donc je fait Abs P, mais il me remet le nombre sous forme complexe ??? a l'aide
regarder l'image ci-joint, j'ai vu sur le manuelle s'est valeur absolu ??
et pour arg, il me met la valeur imaginaire du nombre complexe ?
il faudrait que sur le nombre complexe a+bi, il fasse racine de (a^2+b^2), comment faire, merci, j'en ai besoin pour un programme d'éléctronique.
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Lusgi
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Posté le 29/10/2006 16:45 |
Abs c'est juste la valeur absolu du nombre :
Abs (-2) = 2
Abs (2) = 2
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smiley
Zefortiche
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Posté le 29/10/2006 16:56 |
t'es en seconde lusgi, tu peux pas comprendre :
pourquoi la fonction Abs se trouve dans Cplx ?

Rems, ça serait pas mieux avec des parenthèses ?
dans ton cas, la calto comprend : Abs (7) + 2i
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Rems
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Posté le 29/10/2006 17:06 |
a ok merci beaucoup je vais pouvoir continuer mon super programme sur les filtres passif
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Réfléchir, c'est l'avenir !
Muelsaco
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Posté le 29/10/2006 17:06 |
Zefortiche à raison il faut les parenthèses
Lusgi>Abs est en fait le module d'un nombre complexe (pour çà qu'il est dans Cplx). Dans l'ensemble des réels, ce module est en fait la valeur absolue
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