Planete Casio - Generateur de Cours pour Casio, Triches et Pompes

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Générateur de pompes

Comment transférer un cours sur votre calculatrice (pour graph 85)

Fonctions exponentielles

créé par Jpsy le 2007-10-21 22:50

Générer :

//equation differentielle
--Y'=y, y(0)=1
F'(x)=f(x) et f(o)=1
Si f solution de E alors f(x)*f(-x)=1
Il existe une unique solution a l'equation(E)
--demonstration
Soit g une solution de €. Montrons que g'=f
On pose h(x)=g(x)*f(-x), h est une solution derivable sur R et pour tout xER h'(x)=g'(x)*f(-x)-g(x)*f'(x)=g(x)*f(-x)-g(x)*f(-x)=0
H est constante sur R et h(0)*g(0)=1
Pour tout xER h(x)=1 g(x)*f(x)=1 (1) g(x)*f(-x)*f(x)=f(x) (2)
L'equation (2) equivaut a (1) car pour tout xER f(x)zo en effet f(x)*f(-x)=1 On obtient alors, pour tout xER g(x)=f(x)
//Regles calcul
Exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1
Exp(a+b)=expa*expb
Exp-a=1/expa
Expa-b=expa/expb
Expna=[expa]^n
Exp1=e
Expn=e^n
e^a+b=e^a*e^b
e^-a=1/e^a
e^a-b=e^a/e^b
e^na=(e^a)^n
e^a=e^b&#8594;a=b
e^a<e^b&#8594;a<b
//Approximation affine
Pour h proche de 0 exp(0+h)=exp(0)+h*exp(0)=1+h
D'ou e=(1+1/n)^n
//Limites
lime^x=+&#8734; quand x&#8594;+&#8734;
lime^x=0 quand x&#8594;-&#8734;
lime^x/x=+&#8734; quand x&#8594;+&#8734;
limx/e^x=0 quand x&#8594;+&#8734;
limxe^x=0 quand x&#8594;-&#8734;
//Derivation
(e^u(x))'=u'(x)*e^u(x)
//Equation differentielle y'=ky
--Soit kER*, une fonction f est solution de l'equation differentielle y'=ky ssi il existe CER tel que pour tout xER f(x)=Ce^kx
--Demonstration
Si f(x)=Ce^kx, montrons que f est solution de l'equation y'=ky, f est derivable sur R et sa derivee f'(x)=c*ke^kx=k*Ce^kx=k*f(x)
Reciproquement, soit f une solution de l'equa diff y'=ky, montrons que pour tout xER, f'(x)=ce^kx, CER
On pose g(x)=f(x)*e^-kx g est deriv sur R
g'(x)=f(x)*-ke^-kx+f'(x)*e^-kx=e^-kx[-kf(x)+f'(x)]
Or f est solution de y'=ky donc pour tout xER f'(x)=kf(x) et donc f'(x)-kf(x)=0 d'ou g'(x)=0
G est alr conste sur R
Il existe CER tel que pour tout xER, g(x)=C
F(x)*e^-kx=C&#8594;f(x)=C*e^kx

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Cours :	Date :	Catégorie :	Modifications :
124	2006-05-17 00:51	Divers	Aucune
123	2006-05-17 00:43	Divers	Aucune
121	2006-05-17 00:42	Divers	Aucune
120	2006-05-17 00:32	Divers	Aucune
119	2006-05-17 00:31	Divers	Aucune
118*	2006-05-17 00:29	Divers	Aucune
117	2006-05-17 00:24	Divers	Aucune
116	2006-05-17 00:21	Divers	Aucune
Droites et plans de l'espace	2006-05-17 00:20	Mathematiques	Aucune
115	2006-05-17 00:17	Divers	Aucune
114	2006-05-17 00:15	Divers	Aucune
113	2006-05-17 00:11	Divers	Aucune
Produit scalaire	2006-05-17 00:09	Mathematiques	1 2 3 4 5 6
112	2006-05-17 00:02	Divers	Aucune
111	2006-05-16 23:57	Divers	Aucune
110	2006-05-16 23:43	Divers	Aucune
109	2006-05-16 23:35	Divers	Aucune
Intégrale	2006-05-16 23:33	Mathematiques	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
108	2006-05-16 23:31	Divers	Aucune
107	2006-05-16 23:30	Divers	Aucune