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Mathématiques | Physique | Chimie | S.I. | SES - Economie | Divers Aide Creer des menus: //I.1ere Loi de Newton --1)Definition Dans un référentiel... --2)Exemple Sur une table sans fr... //II.2eme Loi de Newton L'accélération subie par... Pour quitter un sous-menu lorsque vous exécutez le programme sur la calculatrice appuyez sur exit ¤ Télécharger Fxi-interface ¤ Comment transférer un programme Générateur de pompes Comment transférer un cours sur votre calculatrice (pour graph 85) Cours sur expo créé par Manzelle le 2007-11-25 14:42 Générer : Pour Fx-Interface Pour Fx-Interface (g100) Pour FA-124 (g85) En .cat Cours sur la fonction exponentielle : def : Il existe une unique fonction f telle que f'=f et f(0)=1. Cette fonction est appellee fonction exponentielle et se note exp : (exp(x))'=exp (x) et exp(0)=1. Definie sur R. Continue sur R puisque derivable sur R. I- Caracterisation algebrique Proprietes : 1. Pour tous reels x et y, exp (x+y) = exp(x) * exp(y) 2. Pour tous reels x et y, exp(-x) = 1/exp(x) Demo : On sait que pour tt reel x et y, exp (x+y)=exp (x) *exp(y). On prend y=-x On alors : exp ((x)+(-x))=exp (x)*exp(-x) Donc exp(0)=exp(x)*exp(-x) Donc 1=exp(x)*exp(-x) d'ou 1/exp(x)=exp(-x) 3. Pour tt reel x et y, exp(x-y)=exp(x)/exp(y) Demo : exp(x-y)=exp(x+(-y))=exp(x)*exp(-y) =exp(x)* 1/exp(y) = exp(x)/exp(y) /!\ Pour demontrer cette propriete, il faut avoir demontre la precedente ! 4. Pour tt x et y et tt n€Z : (exp(x))^n = exp(n*x) Demo : On demontre d'abord cette propriete pour tout n€N. On fait un raisonnement par recurrence : Pn : pr tt x€R : (exp(x))^n=exp(n*x) pr tt n€N. Rang initial : (exp(x))^0=1 exp(0*x)=exp(0)=1 Donc Po vraie. Ran n+1 : On sait que exp(x)^n=exp(n*x) donc (exp(x))^n * exp(x) = exp(n*x) * exp(x) donc (exp(x))^(n+1) = exp(nx+x) =exp((n+1)*x) Donc propriete hereditaire, blabla Maintenant, on veut prouver si m=-n avec n€N (exp(x))^-n=1/ (exp(x))^n =1/ exp(n*x) = exp (-nx) La propriete est dc vraie pr tt n€Z II Une nouvelle notation e^x * e^y = e^(x+y) e^0=1 (e^x)^n=e^(n*x) e^(-x)=1/e^x (e^x)/(e^y)=e^(x-y) III Etude de la fonction exponentielle 1: Signe et variation a: La fonction exponentielle est strictement positive sur R : e^n > 0 demo : On prouve que e^x =/ 0 sur R Pour cela on suppose le contraire : Il existe a€R tel que e^a=0 pr tt x€R : e^a * e^(x-a)=e^(a+x-a) = e^x Donc e^x=0 sur R or e^0=1=/0 Donc il n'existe pas de a tel que e^a=0 Donc e^x=/0 sur R. Comme c'est une fonction continue sur R, elle est de signe constant, celui de e^0=1>0 b: Pour tt x€R, (e^x)'=e^x Demo : C'est la def meme de la f° exp. c: f° exp est strictement croissante sur R : c'est une consequence de a et b 2/ Limites lim[x-->+oo] e^x=+oo lim[x-->-oo] e^x=0 demo : En +oo : On etudie la f° f(x)=e^x - x sur [0; +oo[ f'(x)=e^x - 1 or e^x - 1>/ 0 <=> e^x>/1 <=> e^x>e^0 <=> x>/ 0 (car f° exp croissante sur R) image:math.jpg D'apres le tablo de variation, f a pr minimum 1 sur [0; +oo[ dc f positive sur [0;+oo[ dc pr tt x€[0;+oo[ e^x - x >/ 0 dc e^x>/x Or lim [x-->+oo] x = +oo dc d'apres le thm de comparaison lim [x-->+oo]e^x=+oo En -oo : On effectue un changement de variable. On pose X=-x. Si x tend vers -oo, alors X tend vers +oo donc lim[x-->-oo] e^x = lim[x-->+oo] e^(-x)= lim[x-->+oo] 1/e^x = 0 3/ consequences e^a =e^b <=> a=b e^a<e^b <=> a<b car f° exp croissante sur R 4/tablo de variation image:Math2.jpg III Complements 1/ Derivee de e^u (u une f°) (e^u)' = u' * e^u Demo : e^u de la forme v o u avec v(x)=e^x v'(x) = e^x donc (v o u)'= u' * v' o u ici (e^u)' = u' * e^u 2/ Approximation affine de e^h pr h proche de 0 f(a+h) =~ f'(a) * h + f(a) pr f(x) = e ^x a=0 dc e^h =~e^0 * h + e^0 =~ 1*h + 1 donc e^h - 1 =~h donc (e^h - 1) /h =~1 d'ou lim [h-->0] (e^h - 1)/h = 1 3/ Thm de croissance comparee A utiliser si on tombe sur une f.i lim[x-->+oo] e^x / x = + oo lim [x --> -oo] xe^x = 0 On generalise pr tt n€N : lim[x-->+oo] e^x/e^n = +oo lim [x --> -oo] e^x * e^n = 0 # Insérer une image ou un schéma Enregistrer le cours Pseudo : Adresse email : Créer nouveau cours Recherche : Pages 1...,115,116,117,118,119,120,121...,153 Cours : Date : Catégorie : Modifications : Aire 2007-09-09 15:25 Mathematiques Aucune Volume 2007-09-09 15:37 Mathematiques Aucune Les ensembles 2007-09-16 16:00 Mathematiques Aucune Marketing risque et ratio 2007-09-18 22:40 Mathematiques Aucune U42 2007-09-18 22:47 Mathematiques Aucune Operation sur fonctions 2007-09-20 21:15 Mathematiques Aucune Ration 2007-09-30 13:36 Mathematiques Aucune Fonctions pair_imp 2007-09-23 15:00 Mathematiques Aucune Forces & V 2007-09-28 23:20 Mathematiques Aucune Fonctions periode2 2007-09-23 15:07 Mathematiques Aucune Cytosquellette 2007-09-23 15:07 Mathematiques Aucune Axe de sym et centre de sym 2007-09-23 15:18 Mathematiques Aucune Suite et limite revison 1erS 2007-09-23 16:36 Mathematiques 1 équations du 2nd degré 2007-09-23 19:07 Mathematiques Aucune Binaires 2007-09-23 22:09 Mathematiques 1 2 Les ensembles de nombres 2007-09-24 18:33 Mathematiques Aucune Les intervalles 2007-09-27 18:30 Mathematiques Aucune Scalairep 2007-10-05 20:54 Mathematiques Aucune PhysiqueTS 2007-10-02 20:49 Mathematiques Aucune Energie et puissance 2007-10-05 21:16 Mathematiques Aucune Publicité et partenaires Top cinema - Les meilleurs films (par les créateurs de Planete Casio) GameMasters.fr FR Game Cours particuliers DynaMaths

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