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Défi
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Nombre d'or
Difficulté : Difficile
Défi ajouté par : Purobaz le 02-04-2010 02:41
PurobazHors ligneMembre d'honneurPoints: 2690 Défis: 110 Message
Question ou texte du défi :
Bonjour,

Vous avez tous remaqué que si un nombre est inférieur à -9 999 999 999 ou supérieur à 9 999 999 999 la calculatrice le transforme en écriture scientifique (cad avec une puissance de 10) .
Ainsi la calculatrice ne peut pas effectuer des calculs avec des nombres de plus de 10 chiffres sans les arrondir. Il y a donc inévitablement une perte dans la précision du résultat .

L'objectif du défi est donc de calculer la 20ème décimal du nombre d'or (je dis bien la calculer :idea: ).

Le nombre d'or est égal à (1+[SQRT]5)/2.
Cependant on peut aussi le caculer à l'aide de la suite de Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34... Voilà, vous avez compris qu'un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les 2 nombres précédents.
Ensuite si l'on calcule le quotient de 2 nombres consécutifs de cette suite (le plus grand par le plus petit, bien sûr) on obtient un nombre de plus en plus proche du nombre d'or .

Mais comme nous l'avons vu précédemment la calculatrice est limitée à la 9ème décimale .

Pour résoudre ce défi il faut donc créer un programme effectuant des opérations sur des grands nombres sans pour autant perdre en précision 8) . Par exemple on peut diviser les nombres en paquets de 5 ou 6 chiffres, les stocker dans une matrice ou une liste et reproduire les opérations comme si on les faisait à la main .

J'ai essayé et je n'y suis pas parvenu . Enfin l'addition et la soustraction sa passe encore mais la multiplication et pire la division c'est un vrai casse-tête .




Commentaires :
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DynastyHors ligneMembrePoints: 464 Défis: 2 Message
Posté le 12-04-2013 à 21:34 | #
alex est un professionel de la récurrence
TenmatxHors ligneMembrePoints: 996 Défis: 2 Message
Posté le 13-04-2013 à 00:00 | #
Vous savez qu'il y a des sites sur lesquels on peut calculer les 10 000 premières décimales ?
Pourquoi s’embêter à faire un programme.
DodormeurHors ligneAncien rédacteurPoints: 3965 Défis: 84 Message
Posté le 13-04-2013 à 00:06 | #
par defi
Alex_1186Hors ligneMembrePoints: 1215 Défis: 46 Message
Posté le 13-04-2013 à 12:40 | #
Bah avec Mathematica, le logiciel de calcul formel offert aux prépas par le lycée, j'ai juste à taper:
N[(1+Sqrt[5])/2,10000000]
et j'ai 10 millions de décimales en quelques secondes! (j'ai testé!)

Le but c'est de le faire trouver par la caltos!

@Dynasty: Merci mais il n'y a pas besoin de récursivité pour le nombre d'or...
TenmatxHors ligneMembrePoints: 996 Défis: 2 Message
Posté le 13-04-2013 à 17:58 | #
J'ai fais mon TPE sur le nombre d'or cette année, ça m'a bien gonflé alors maintenant j'essaye de plus y penser.
Je risque pas de faire ce défi.
Alex_1186Hors ligneMembrePoints: 1215 Défis: 46 Message
Posté le 13-04-2013 à 20:58 | #
Bah justement, tu es sûrement un expert maintenant!
Moi en option info je fais de la récursivité, alors j'ai ai eu envie de partager mon savoir-faire, et j'ai fait le programme Hanoï!
C'est plus anecdotique qu'autre chose, mais c'est le seul programme récursif du site!
TenmatxHors ligneMembrePoints: 996 Défis: 2 Message
Posté le 13-04-2013 à 22:56 | #
Bon, alors puisque tu veut que je partage mon savoir sur ce nombre d'or...
Résumé de mon TPE:
Le nombre d'or est appelé Phi, en hommage au sculpteur grec Phidias qui l'aurait utiliser dans une de ses sculptures décoratives du Parthénon d'Athènes, qui est lui même inscrit dans des rectangles d'ors.
Le nombre d'or N'EST PAS PRESENT dans l'anatomie humaine, et seulement chez quelques rares animaux (ex: crocodile, araignée).
Par contre, on le retrouve un peu plus chez les plantes, en divisant le nombre de branches qu'un arbre possède par le nombre de branches qu'il possédait l'année précédente, chez quelques arbres seulement (ex: chênes, poirier, pommier). Encore faut-il avoir le courage de conter les branches, et ne en avoir couper. Plus l'arbre est vieux, plus le résultat sera proche (ou se rapproche ) du nombre d'or.
Là où il est le plus présent, c'est dans la croissance d'une population d'hyménoptères (les abeilles, les guêpes, les fourmis sont des hyménoptères). La reine pond des oeufs, et elle a le choix de les faire féconder ou non. Si un oeuf est fécondé il donne naissance à un mâle, s'il ne l'est pas il donne naissance à une femelle (ou l'inverse mais on s'en fiche). Donc un mâle a un père et une mère, alors qu'une femelle a seulement une mère. Et si on conte le nombre d'individu de chaque génération, et qu'on le divise par celui de la génération précédente, on obtient une valeur de plus en plus proche du nombre d'or plus on remonte dans le temps (et vous avez pas compris pourquoi mais c'est pas grave).
Ce qu'il faut retenir : phi est plus un mythe qu'une réalité. Si on le retrouve parfois souvent, c'est parce qu'on s'obstine à trouver des divisions qui donnent 1.618 (moi je ne donne que 3 décimales, vous avez vos programmes pour avoir les 17 suivantes). Si on se fixait que le nombre 4 est le nombre d'or, je peut vous assurer qu'on le retrouverai de partout. Mais partout où on trouve "réellement" le nombre d'or, c'est TOUJOURS à travers la suite Leonardo Pisano ( Léonard de Pise, ou encore Fibonacci ), comme l'a si bien expliqué Purobaz.

Voilà, je crois que j'en ai assez dit, maintenant je retourne à mon Warrior.
Alex_1186Hors ligneMembrePoints: 1215 Défis: 46 Message
Posté le 14-04-2013 à 21:12 | #
Euh mais je t'imposais rien...
Moi je vais pas faire un exposé entier sur tout ce que je sais...
TenmatxHors ligneMembrePoints: 996 Défis: 2 Message
Posté le 14-04-2013 à 21:49 | #
Ce n'est que le résumé. L'exposé entier fais 26 pages.
Dark stormEn ligneLabélisateurPoints: 11631 Défis: 176 Message
Posté le 14-04-2013 à 22:07 | #
Demain je vois montre comment j'ai fait des additions de nombres à 20 chiffres sans perte de précision. 8)
Et je suis en train d'adapter mon prog pour les quotients

--- Le 15/04/2013 à 18h03 ---
Jusque là, j'ai réussi a calculer le 440ème terme de la suite de Fibonacci.
Je galère un peu à coder un prog pour faire des quotients, mais j'ai déjà l'addition et la soustraction qui marchent avec des entiers naturels jusqu'à 250 chiffres

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