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Neuronix Hors ligne Fondateur Points: 4488 Défis: 21 Message

Petit cours de Mathématiques

Posté le 03/12/2005 23:48

Pour ceux qui ne comprennent pas la formule laissé sur les commentaires du jeu Speed et qui veulent apprendre quelque chose avant la Term (sympa pour se la péter en seconde) :

La fonction exponentielle :

Je vais simplement donner quelques propriétés de la fonction car pour comprendre sont origine il faut avoir des notions de premiere (au moins) mais je ferais un cours complet plus tard :).

Pour tout x et y réels,
exp(x) > 0
exp(x)*exp(y) = exp(x+y) transforme un produit en somme!
exp(x)/exp(y) = exp(x-y)

exp(0) = 1
donc exp(2) = exp(1+1) = exp(1)*exp(1) = exp(1)^2

On note donc exp(x) = e^x

Les nombres complexes :

Un nombre complexe z est noté z = a + ib où a et b sont des réels et où i^2 = -1.

Tout nombre réel est donc un complexe car si b = 0 alors z = a + 0 = a qui est réel.

Prenons un point M(x,y) du plan ou x et y sont les coordonnées cartésiennes du point.
On pose z, appelé l'affixe de M tel que z = x+iy.

On définit ainsi le plan complexe ou le point M d'affixe z = x + iy a pour coordonnées x et y. On peut ainsi écrire les coordonnées du point en un seul nombre!

On appelle conjugé de z le nombre z-"barre" (c'est à dire avec une barre au dessus) que l'on notera ici z'

Si z = a + ib alors z' = a - ib

M'(z') est donc le symétrique de M(z) par rapport à l'axe des abscisses (car l'ordonnée de z' est l'opposé de celle de z )

Prenons le plan complexe (O,u,v) ou u et v sont des vecteurs normés.



Posons r = OM (la distance du point à l'origine) et µ = (u,OM) (l'angle formé par le vecteur u et le vecteur OM).

On a x = r*cos µ et y = r*sin µ. L'affixe z du point M s'écrit donc :
z = x + iy
= r*cos µ + i*r*sin µ
= r(cos µ + i*sin µ)

On prend par définition la notation dite exponentielle car on retrouve les meme propriétés avec les complexes et la fonction exponentielle donc on note :

z = r*e(iµ)

On appelle r le module de z,
on note r = Abs(z) (comme la valeur absolue mais je mets Abs() ici car c'est la fonction de la calculatrice et les barres sont des caractéres interdits )

r est la distance OM donc r = (x^2 + y^2)^(1/2) ( ^(1/2) correspond à racine carrée : si on a (x^a)^b = x^(ab) alors (x^2)^(1/2) = x )


On appelle µ l'argument de z,
on note µ = Arg(x).

On peut pas la calculer avec une formule simple, il vaut mieux regarder sur un dessin on voit souvent tres vite quel est l'argument (en tout cas au lycée c'est toujours un truc simple à voir )


Note : Ces deux fonctions se trouvent dans le Menu OPTN puis CPLX et argument ( Arg() )est extremement utile pour avoir l'angle d'un vecteur entre 0 et 360° !!!! contrairement à cos^-1 et sin^-1 qui donnent un angle entre -90 et 90° ou entre 0 et 180°!!!

Quelques exemples :

Soient les points A(1,0) B(1,1) C(0,1) D(-2,0)
On notera a l'affixe de A etc...

a = 1 + 0 = 1
Abs(a) = 1; Arg(a) = 0
d = -2 + 0
Abs(d) = 2; Arg(d) = Pi

Vous voyez donc que tout réel à un argument de 0 ou Pi

b = 1+ i = 1 + 1*i
Abs(b) = (1^2 + 1^2)^(1/2) = 2^(1/2) racine de 2
Arg(b) = Pi/4

c = 0 + i
Abs(c) = 1; Arg(c) = Pi/2

Questionnaire :

1- Arg(-1+i)?
2- Abs(4-3i)?
3- Comment sera noté -1+i en notation exponentielle?

Utilisation des complexes :

En premiere on apprend à résoudre les ploynomes du second degré :

Ax^2 + Bx +C = 0

Mais seulement dans les cas ou le déterminant D = B^2-4AC est positif ou nul.

A l'origine les complexes ont été crées pour résoudre des problemes tels que la résolution des polynomes du second degré.
On a donc introduit le nombre i tel que i^2 = -1

On a donc dans le cas ou D < 0,

D = (i*E)^2 ou E est un nombre positif.

En effet on a alors D = i^2 * E^2 = -1 * E^2

On peut donc résoudre l'equation avec le polynome du second degré avec ce nombre complexe avec la méthode normale. On a ainsi deux racines complexes dites conjugées (voir plus haut j'ai rajouté la notion de conjugé aux complexes ).

Application :

Les complexes permettent de simplifier les calculs de rotations, de symétrie etc ...
Considérons la rotation de centre O et d'angle Pi/3.
Soit M d'affixe z = r*e(i*µ)

L'image N(Z) de M(z) aura donc pour affixe Z = r*e( i*(µ+Pi/3) ). En effet la distance OM = ON mais l'angle (u,ON) = (u,OM + Pi/3)

On a donc
Z = r*e( i*(µ + Pi/3) )
Z = r*e( i*µ + i*Pi/3 )
Or d'apres la propriété de exp : e(x+y)= e(x)*e(y)
Donc Z = r * [ e(i*µ) * e(i*Pi/3) ]
C'est à dire Z = r * e(i*µ) * e(i*Pi/3)

La rotation revient donc à une multiplication !

La classpad gère la notation exponentielle et les rotations complexes mais malheureusement pas les graphs
A finir



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