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Zezombye
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Posté le 14/04/2018 15:28

Les probabilités avec Casio (loi normale, binomiale, poisson :

Comme il y a quasiment aucune documentation sur comment utiliser les fonctions de probabilités (le manuel passe par le menu Stat et non pas par les fonctions dans le catalogue), voici un tuto sur comment calculer les lois normale, binomiale et de Poisson.



Attention : les fonctions de la loi normale utilisent l'ordre σ, μ !
Enoncé : Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(900 ; 7²).

1) Calculer P(X < 890)

Il faut utiliser la fonction NormCD(a, b, σ, μ) qui calcule la probabilité que X soit dans l'intervalle [a; b].
Ici, X < 900 donc X est dans l'intervalle [-infini ; 900]. On ne peut pas mettre le signe infini sur la calculatrice, il faut donc le simuler en mettant -1e99.
La solution est donc NormCD(-1e99, 890, 7, 900) qui donne 0,07656.

2) Calculer P(X > 910)

La marche à suivre est la même que précédemment, mais on a ici un intervalle de [910; +infini] ce qui se traduit en [910; 1e99].
La solution est donc NormCD(910, 1e99, 7, 900) qui donne aussi 0,07656 (symétrie de la loi normale).

3) Calculer x tel que P(X < x) = 0.4

Il faut utiliser la fonction InvNormCD(type, a, σ, μ) où a est la valeur de probabilité. Dans ce cas, type vaut -1.

La solution est donc InvNormCD(-1, 0.4, 7, 900) qui donne 898,23.

4) Calculer b tel que P(900-b < X < 900+b) = 0.6

On doit d'abord ramener X à une loi normale centrée réduite N(0;1).
Pour cela on soustrait à chaque membre de l'équation µ (ici 900) puis on les divise par sigma (ici 7).
On a donc P((900-b-900)/7 < (X-900)/7 < (900-b+900)/7) = 0.6 ; on pose Y=(X-900)/7 soit P(-b/7 < Y < b/7) avec Y suivant la loi N(0;1).
On peut alors faire InvNormCD(0, 0.6, 1, 0) qui donne -b/7, il faut ensuite multiplier par -7.
InvNormCD(0, 0.6, 1, 0) donne -0.8416, -7*-0.8416 = 5.8912. b = 5.8912.

On vérifie : NormCD(900-5.8912, 900+5.8912, 7, 900) donne bien 0.6. (le calcul donne 0.5999 mais c'est parce que je me suis limité à 4 chiffres significatifs)

Il faut bien s'entraîner sur ce calcul car la procédure est assez compliquée.

5) Calculer c tel que P(X > c) = 0.7

Comme la question 3) mais cette fois ci, le type vaut 1.

La solution est InvNormCD(1, 0.7, 7, 900) qui donne c = 896,319.

Fonction NormPD

Je n'ai jamais eu de question concernant cette fonction, mais je la présente quand même.
La fonction NormPD ne calcule pas une probabilité, mais travaille sur la représentation graphique de la fonction.
Si on trace une loi normale, ça crée une courbe en "cloche" comme ceci :


La fonction NormPD(x, σ, μ) calcule l'ordonnée de la fonction de la loi normale en x.
Ainsi, NormPD(0, 1, 0) donne 0,3989 (comme on peut le voir sur le screenshot).
Le sommet de la "cloche" est donc au point (x=0, y=0.3989).



Enoncé : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi B(10, 0.25).

1) Calculer P(X = 1)
Il faut utiliser la fonction BinomialPD(x, n, p).
La solution est BinomialPD(1, 10, 0.25) = 0,056.

2) Calculer P(X ≤ 3)

Il faut utiliser la fonction BinomialCD(x, n, p) qui calcule P(X ≤ x).
La solution est BinomialCD(3, 10, 0.25) = 0,776.

3) Calculer P(X > 6)

X n'étant pas une variable continue (contrairement à la loi normale) mais une variable entière, P(X > 6) = 1-P(X ≤ 6).
La solution est donc 1-BinomialCD(6, 10, 0.25) = 0,0035.

4) Calculer P(X ≥ 5)

P(X ≥ 5) = 1-P(X ≤ 4).
La solution est 1-BinomialCD(4, 10, 0.25) = 0,078.

5) Calculer a tel que P(X ≤ a) = 0.7758

Il faut ici utiliser la fonction InvBinomialCD(a, n, p).
La solution est InvBinomialCD(0.7758, 10, 0.25) = 3.
Attention aux arrondis : mettre 0.776 au lieu de 0.7758 vous donnera 4 (avec un message de warning). Pour être sûr, essayez la solution avec BinomialCD : faire BinomialCD(4, 10, 0.25) vous donne 0.922, 4 n'est donc pas la bonne solution.



Rappel de cours : on peut approximer une loi binomiale par une loi de Poisson si N > 30, P < 0.01 et N*P < 15. (en gros : N grand, P petit, N*P petit). Dans ce cas λ = n*p.

Enoncé : Une entreprise de transport utilise 100 camions. On suppose que la variable aléatoire X égale au nombre de camions en panne un jour donné suit une loi de Poisson de paramètre λ = 3.

1) Calculer la probabilité d'avoir 95 camions en service ce jour.

95 camions en service = 5 en panne. Il faut résoudre P(X = 5).
Pour cela, il faut utiliser la fonction PoissonPD(x, λ) qui calcule P(X=x). PD veut bien sûr dire Probability Distribution.
La solution est PoissonPD(5, 3) = 0,1008.

2) Calculer la probabilité d'avoir 6 camions ou moins en panne ce jour.

Cela revient à calculer P(X ≤ 6).
Il faut utiliser la fonction PoissonCD(x, λ) qui calcule P(X≤x).
La solution est PoissonCD(6, 3) = 0,9665.

3) Calculer la probabilité d'avoir moins de 10 camions en service ce jour.

S'il y a moins de 10 camions en service, il y a 10 camions ou plus en panne.
Cela revient à résoudre P(X ≥ 10).

Tout comme pour la loi binomiale, P(X≥10) = 1 - P(X<10) = 1-P(X≤9).
La solution est 1-PoissonCD(9, 3) = 0,0011.

4) Calculer le nombre minimum de camions dont on peut disposer un jour donné avec une probabilité de 98%.

Cela revient à calculer le nombre maximum de camions en panne un jour donné avec une probabilité de 98%, soit P(X ≤ x) = 0.98.
"Mais c'est pas P(X ≥ x) vu que c'est un maximum ?" Non, ça parait contre-intuitif mais c'est logique : si je vous dis que vous avez une note maximum de 16, votre note est inférieure ou égale à 16.

On utilise donc la fonction InvPoissonCD(p, λ) qui calcule x tel que P(X ≤ x) = p.
La solution est donc InvPoissonCD(0.98, 3) qui donne 7.
On peut donc disposer d'au moins 93 camions un jour donné avec une probabilité de 98%.




Totoyo
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Message
Citer : Posté le 14/04/2018 18:56 | #
Merci pour ce tutoriel
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Ne0tux
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Citer : Posté le 14/04/2018 19:02 | #
Merci, c'est une excellente initiative et c'est bien fait !
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Lephenixnoir
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Citer : Posté le 14/04/2018 22:33 | #
Pas mal. C'est Binomial et pas Binominal cependant.

Vu la complexité des manips par rapport à ce qui se fait en Terminale, ce tuto est une bonne idée en effet.
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Watch me, as I build my empire with my own hands.
Fabcvlr
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Message
Citer : Posté le 16/04/2018 15:22 | #
Je crois que j'ai déjà fais un prog la-dessus !
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L'expérience des autres, c'est comme une chandelle que l'on tient allumée dans son dos par une nuit de tempête !
Dark storm
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Citer : Posté le 17/04/2018 08:39 | #
Tu veux parler de ces trucs qui seront bloqués en mode examen ?
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Finir est souvent bien plus difficile que commencer. — Jack Beauregard
Páranÿe quetë Quendya
Fabcvlr
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Points: 1912
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Message
Citer : Posté le 17/04/2018 08:51 | #
Bah, pas cette année 8)
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L'expérience des autres, c'est comme une chandelle que l'on tient allumée dans son dos par une nuit de tempête !


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